Question

某乡镇供电所为了调查农村居民用电量情况，随机抽取了500户居民去年的月均用电量（单位：kw/h），将所得数据整理后，画出频率分布直方图如下，其中直方图从左到右前3个小矩形的面积之比为1：2：3，试估计：
（Ⅰ）该乡镇月均用电量在39.5～43.5内的居民所占百分比约是多少？
（Ⅱ）该乡镇居民月均用电量的中位数约是多少？（精确到0.01）

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用频率直方图中小矩形的面积等于纵坐标乘以组距求出最后两个小矩形的面积之和，再由直方图中各小矩形的面积之和为1，求出前三个矩形的面积和，进一步求出在39.5～43.5内的频率．
（Ⅱ）由直方图的面积平分线位于正中间一个矩形内，设样本数据的中位数为39.5+x．得到x：2=0.125：0.375，求出中位数．

解答：解：（Ⅰ）设直方图从左到右前3个小矩形的面积分别为P，2P，3P．由直方图可知，
最后两个小矩形的面积之和为（0.0875+0.0375）×2=0.25．…（2分）
因为直方图中各小矩形的面积之和为1，所以P+2P+3P=0.75，即P=0.125．
所以3P+0.0875×2=0.55．…（4分）
由此估计，该乡镇居民月均用电量在39.5～43.5内的居民所占百分比约是55%．…（7分）
（Ⅱ）显然直方图的面积平分线位于正中间一个矩形内，且该矩形在面积平分线左侧部分的面积为0.5-P-2P=0.5-0.375=0.125，…（9分）
设样本数据的中位数为39.5+x．为正中间一个矩形的面积为3P=0.375，
所以x：2=0.125：0.375，即x=

2

3

≈0.67．…（11分）
从而39.5+x≈40.17，…（13分）
由此估计，该乡镇居民月均用电量的中位数约是40.17（kw/h）．…（14分）

点评：本题考查频率分布直方图中，小矩形的面积即频率等于纵坐标乘以组距；各小矩形的面积之和为1；直方图中中位数左右两边的矩形的面积相等，属于基础题．