Question

已知椭圆C的长轴长为，一个焦点的坐标为（1，0）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l：y=kx与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆的右顶点．
①若直线l斜率k=1，求△ABP的面积；
②若直线AP，BP的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁•k₂为定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可知椭圆的焦点在x轴上，且c=1，，结合b²=a²-c²=可求b，进而可求椭圆的方程
（2）①当k=1时，直线AB的方程为y=x，联立直线方程与椭圆的方程可求A，B，由椭圆的性质可求P，而（d为P到直线y=x的距离）可求
②证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．，联立方程，消y整理得 （2k²+1）x²=2，可求A，B的坐标，代入斜率公式可得，可证
解答：解：（1）依题意椭圆的焦点在x轴上，且c=1，，…（1分）
∴，b²=a²-c²=1．                                     …（2分）
∴椭圆C的标准方程为．                                   …（4分）
（2）①…（5分）
∴或 ，…（7分）
即，，．
所以．                                     …（9分）
②证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
椭圆的右顶点为
联立方程，消y整理得 （2k²+1）x²=2，
不妨设x₁＞0＞x₂，
∴，；，．…（12分）…（13分）==
∴k_AP•k_BP为定值．                             …（14分）
点评：本题主要考察了由椭圆的性质求解椭圆的方程，直线与椭圆的相交关系的应用，由两点确定直线的斜率公式的应用，属于基本知识的综合应用．