Question

正态总体为m=0，s=1时的概率密度函数是

　　f(x)=(x∈R)．

　　(1)求证：f(x)是偶函数；

　　(2)求f(x)的最大值；

　　(3)利用指数函数的性质说明f(x)的增减性．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：对于任意的x∈R 　　f(-x)==f(x) 　　∴　f(x)是偶函数 　　(2)解：令z=，当x=0时，z=0，ez=1 　　∵　ez是关于z的增函数，当x≠0时，z＞0，ez＞1 　　∴　当x=0，即z=0时，=ez取得最小值 　　∴　当x=0时，f(x)=取得最大值 　　(3)解：任取x1＜0，x2＜0，且x1＜x2，有 　　，∴　 　　 　　即f(x1)＜f(x2) 　　它表明当x＜0时，f(x)是递增的 　　同理可得，对于任取的x1＞0，x2＞0，且x1＜x2，有f(x1)＞f(x2)， 　　即当x＞0时，f(x)是递减的． 　　说明：本题总结了正态总体为m=0，s=1时的概率密度函数的一些重要性质．