Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点，
（Ⅰ）求PB和平面PAD所成的角的大小；
（Ⅱ）证明AE⊥平面PCD；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的大小。

Answer 1

（Ⅰ）解：在四棱锥P-ABCD中， 因PA⊥底面ABCD，平面ABCD， 故PA⊥AB， 又AB⊥AD，PA∩AD=A， 从而AB⊥平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA， 从而∠APB为PB和平面PAD所成的角， 在中，AB=PA，故∠APB=45°， 所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°． （Ⅱ）证明：在四棱锥P-ABCD中， 因PA⊥底面ABCD，平面ABCD， 故CD⊥PA， 由条件CD⊥PC，PA∩AC=A， ∴CD⊥面PAC， 又面PAC， ∴AE⊥CD， 由，∠ABC=60°，可得AC=PA， ∵E是PC的中点， ∴AE⊥PC， ∴PC∩CD=C， 综上得AE⊥平面PCD．
（Ⅲ）解：过点E作EM⊥PD，垂足为M，连结AM， 由（Ⅱ）知，AE⊥平面PCD， AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD， 因此∠AME是二面角A-PD-C的平面角， 由已知，可得∠CAD=30°，设AC=a，可得 ， ， ∴， 则， 在中，sin∠AME=， 所以二面角A-PD-C的大小是。