Question

已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F₁、F₂为左、右焦点．P为双曲线上一点，且∠F₁PF₂＝60°，S△_PF1F2＝12，求双曲线的标准方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：如图，设双曲线方程为＝1(a＞0，b＞0)． 　　因为e＝＝2，所以c＝2a． 　　由双曲线的定义||PF1|－|PF2||＝2a＝c， 　　在△PF1F2中，由余弦定理，得 　　|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60° 　　＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|(1－cos60°)， 　　即4c2＝c2＋|PF1||PF2|．① 　　又＝12， 　　所以|PF1||PF2|sin60°＝12， 　　即|PF1||PF2|＝48．② 　　由①②，得c2＝16，c＝4，则a＝2，b2＝c2－a2＝12． 　　所以所求的双曲线方程为＝1． 　　解析：要求双曲线的标准方程，可设出方程＝1．关键是求a、b的值，在△PF1F2中，可由余弦定理和三角形面积公式列出方程组，从而求出a、b．

提示：

遇到过椭圆、双曲线的两焦点与曲线上任一点组成的三角形时，常用定义与解三角形知识解决相关问题．本题要注意整体代换的运算技巧．