Question

已知x，y∈R，则(x+y)2+(x-

2

y

)2的最小值为

4

．

Answer 1

分析：(x+y)2+(x-

2

y

)2表示（x，x）与（-y，

2

y

）两点距离的平方，相应动点的轨迹为直线y=x，曲线y=-

2

x

，求出与直线y=x平行，且与曲线y=-

2

x

相切的直线方程，则切点到直线的距离的平方为所求．

解答：解：(x+y)2+(x-

2

y

)2表示（x，x）与（-y，

2

y

）两点距离的平方，相应动点的轨迹为直线y=x，曲线y=-

2

x

求出与直线y=x平行，且与曲线y=-

2

x

相切的直线方程，则切点到直线的距离的平方为所求．
由y=-

2

x

可得y′=

2

x2

，令y′=

2

x2

=1，则x=±

2

，故可得切点的坐标为(

2

，-

2

)，(-

2

，

2

)
由点到直线的距离公式可得d=

2 2

2

=2
∴(x+y)2+(x-

2

y

)2的最小值为4
故答案为：4

点评：本题考查两点间距离公式的运用，考查导数的几何意义，考查学生分析解决问题的能力．