Question

已知函数f（x）=

1+lnx

x

 
（1）求函数f（x）的极值；
（2）如果当x≥1时，不等式f（x）≥

k

x+1

恒成立，求实数k的取值范围；
（3）求证[（n+1）!]²＞（n+1）e^n-2  （n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）求导数，判断函数f（x）的单调性，根据单调性即可求出其极值；
（2）不等式f（x）≥

k

x+1

，即为

(x+1)(1+lnx)

x

≥k，令g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

，则问题转化为求函数g（x）的最小值，利用导数即可求得；
（3）利用（2）问结论可得一不等式，在该不等式中令x=n（n+1），然后由此不等式进行放缩，累加各不等式可证明不等式．

解答：解：（1）因为f（x）=

1+lnx

x

，x＞0，则f′（x）=-

lnx

x2

，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，
所以函数f（x）在x=1处取得极大值f（1）=1，无极小值．
（2）不等式f（x）≥

k

x+1

，即为

(x+1)(1+lnx)

x

≥k，
记g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

，则g′（x）=

[(x+1)(1+lnx)]′x-(x+1)(1+lnx)

x2

=

x-lnx

x2

，
令h（x）=x-lnx，则h′（x）=1-

1

x

，
∵x≥1，∴h′（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴[h（x）]_min=h（1）=1＞0，从而g′（x）＞0，故g（x）在[1，+∞）上也单调递增，
所以[g（x）]_min=g（1）=2，
所以k≤2，即实数k的取值范围是（-∞，2]．
（3）由（2）知：f（x）≥

2

x+1

恒成立，即lnx≥

x-1

x+1

=1-

2

x+1

＞1-

2

x

，
令x=n（n+1），则ln[n（n+1）]＞1-

2

n(n+1)

，
所以ln（1×2）＞1-

2

1×2

，ln（2×3）＞1-

2

2×3

，ln（3×4）＞1-

2

3×4

，…，ln[n（n+1）]＞1-

2

n(n+1)

，
叠加得：ln[1×2²×3²×…×n²（n+1）]＞n-2[

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

]=n-2（1-

1

n+1

）＞n-2+

1

n+1

＞n-2．
则1×2²×3²×…×n²（n+1）＞e^n-2，
所以[（n+1）!]²＞（n+1）e^n-2（n∈N^*）．

点评：本题考查利用导数求函数的极值及函数在闭区间上的最值问题，考查恒成立问题，恒成立问题往往转化为函数的最值处理，证明不等式常用方法：一是利用函数最值；一是构造函数．本题综合性强，难度大．