Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E是CD的中点，以AE为折痕将△DAE向上折起，使D为D′，且平面D′AE平面⊥ABCE，
(Ⅰ)求证：AD′⊥EB；
(Ⅱ)求二面角A-BD′-E的大小。

Answer 1

(Ⅰ)证明：因为AE=BE=，AB=2， 所以，AB2=AE2+BE2，即AE⊥EB，  取AE的中点M，连接MD′， 则AD=D′E=1MD′⊥AE， 又平面D′AE⊥平面ABCE， 可得MD′⊥平面ABCE，即得MD′⊥BE， 从而EB⊥平面AD′E， 故AD′⊥EB。 (Ⅱ)解：如图建立空间直角坐标系， 则A(2，1，0)，C(0，0，0)， ， 从而， 设为平面ABD′的法向量， 则可以取， 设为平面BD′E的法向量， 则可以取， 因此，，有， 即平面ABD′⊥平面BD′E， 故二面角A-BD′-E的大小为90°。