Question

设m≠n，x=m⁴-m³•n，y=n³•m-n⁴，比较x与y的大小．

Answer 1

分析：欲比较左右两式的大小，利用作差法，即x-y，结合两数差的立方公式与0比较即可．

解答：解：∵x-y=（m⁴-m³n）-（mn³-n⁴）
=（m-n）m³-n³（m-n）
=（m-n）（m³-n³）
=（m-n）²（m²+mn+n²）
=（m-n）²[（m+

n

2

）²+

3

4

n²]
又m≠n，∴（m-n）²＞0，
∵[（m+

n

2

）²+

3

4

n²]＞0
∴x-y＞0
故x＞y．

点评：本题主要考查了比较法，它的三个步骤：作差--变形--判断符号（与零的大小）--结论．作差法是当要证的不等式两边为代数和形式时，通过作差把定量比较左右的大小转化为定性判定左-右的符号，从而降低了问题的难度．作差是化归，变形是手段，变形的过程是因式分解（和差化积）或配方，把差式变形为若干因子的乘积或若干个完全平方的和，进而判定其符号，得出结论．