Question

（理科）在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中，AC′为对角线，M、N分别为BB′，B′C′中点，P为线段MN中点．
（1）求DP和平面ABCD所成的角的正切；
（2）求DP和AC′所成角．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求DP和平面ABCD所成的角的正切，关键是确定DP和面ABCD所成角，根据面BC′⊥面AC，故可作PH⊥BC，从而可得∠HDP为所求；
（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，进而利用向量的夹角求异面直线所成角．
解答：解：（1）过P作PH⊥BC于足H，连DH，
∵面BC′⊥面AC，则PH⊥面ABCD，
∴DP和面ABCD所成角即为∠HDP．
在正方形BCC′B′，M，N分别为BB′，B′C′中点，P为MN中点，
，


（2）建立如图空间直角坐标系
，
．




点评：本题的考点是直线与平面所成的角，主要考查线面面角与线线角，关键是线面角的确定，及用空间向量解决线线角．