Question

已知一曲线是与两个定点A（x₁,y₁），B（x₂,y₂）距离之比为λ的点的轨迹（λ＞0）.求此曲线的方程，并判断曲线形状.

Answer 1

思路解析：关于动点的条件比较明显，故采用直接法.

解：设M（x,y）是曲线上任意一点，则=λ.

∴=λ.

整理得（1-λ²）x²+(1-λ²)y²+2(λ²x₂-x₁)x+2(λ²y₂-y₁)y+x₁²+y₁²-λ²x₂²-λ²y₂²=0.

当λ=1时，有2(x₂-x₁)x+2(y₂-y₁)y+x₁²+y₁²-x₂²-y₂²=0.

此时是一直线,即AB的中垂线.

当0＜λ＜1或λ＞1时，有

x²+y²+x+y+=0.

∴此时是圆.

深化升华

    两定点的距离的比λ为常数的点的轨迹，当λ=1时是这两定点的中垂线；当0＜λ＜1或λ＞1时，其形状是一个圆.