Question

在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，顶点B₁到对角线BD₁和到平面A₁BCD₁的距离分别为h和d，则下列命题中正确的是（　　）

A．若侧棱的长小于底面的边长，则 h d 的取值范围为（0，1）

B．若侧棱的长小于底面的边长，则 h d 的取值范围为( 2 2 ， 2 3 3 )

C．若侧棱的长大于底面的边长，则 h d 的取值范围为( 2 3 3 ，1)

D．若侧棱的长大于底面的边长，则 h d 的取值范围为( 2 3 3 ，+∞)

Answer 1

设底面边长为1，侧棱长为λ（λ＞0），
过B₁作B₁H⊥BD₁，B₁G⊥A₁B．
在Rt△BB₁D₁中，B1D1=

2

，B1D=

λ2+2

，
由三角形面积关系得：
h=B1H=

B1D1•BB1

B1D

=

2 λ

λ2+2

设在正四棱柱中，由于BC⊥AB，BC⊥BB₁，
所以BC⊥平面AA₁B₁B，于是BC⊥B₁G，
所以B₁G⊥平面AB₁CD₁，
故B₁G为点到平面A₁BCD₁的距离，
在Rt△A₁B₁B中，又由三角形面积关系得d=B1G=

A1B1•BB1

A1B

=

λ

λ2+1

于是

h

d

=

2 • λ2+1

λ2+2

=

2

•

1- 1 λ2+2

，
于是当λ＞1，所以λ2+2＞3，

2

3

＜1-

1

λ2+2

＜1，
所以

h

d

∈(

2 3

3

，1)；
故选C．