Question

15．过点P作圆（x+1）²+（y-2）²=1的切线，切点为M，若|PM|=|PO|（O为原点），则|PM|的最小值是（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． $\frac{3\sqrt{5}-5}{5}$
• D． 1

Answer 1

分析 由切线的性质可得|PM|²=|PC|²-|CM|²，又|PM|=|PO|，可得x₀-2y₀+2=0．动点P在直线x-2y+2=0上，|PM|的最小值就是|PO|的最小值，利用点到直线的距离公式求解即可．

解答 解：∵PM⊥CM，∴|PM|²=|PC|²-|CM|²，又|PM|=|PO|，
∴（x₀+1）²+（y₀-2）²-1=x₀²+y₀²，整理得：x₀-2y₀+2=0．
即动点P在直线x-2y+2=0上，所以，|PM|的最小值就是|PO|的最小值，
过点O作直线x-2y+2=0的垂线，垂足为P，|OP|=$\frac{|2|}{\sqrt{{1}^{2}+（-2）^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故选A．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，判断P在直线x-2y+2=0上，|PM|的最小值就是|PO|的最小值是解题的关键，考查转化思想与计算能力．