Question

如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1．

(1)证明PA⊥平面ABCD．

(2)在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)∵ABCD是菱形，∠ABC＝60°， 　　∴AB＝AD＝AC＝a． 　　在△PAB中，由PA2＋AB2＝2a2＝PB2， 　　∴PA⊥AB．同理，PA⊥AD． 　　∴PA⊥平面ABCD． 　　(2)如图，以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系，则由已知得 　　A(0，0，0)，B(a，－a，0)，C(，0)，D(0，a，0)，P(0，0，a)，E(0，a，a)， 　　∴＝(0，a，a)，＝(a，a，0)，＝(0，0，a)，＝(，－a)，＝(，a)． 　　设点F是棱PC上的点，＝λ＝(aλ，aλ，－aλ)，其中0＜λ＜1． 　　＝＋＝((λ－1)，a(1＋λ)，a(1－λ))， 　　令＝λ1＋λ2得 　　 　　即λ＝时，＝＋，即F是PC的中点时，、、共面，又BF平面AEC，∴当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC． 　　方法二：设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)， 　　则 　　令y＝1，则z＝－2，x＝， 　　即n＝(，1，－2)． 　　由BF∥平面AEC，得n⊥． 　　∴·a(λ－1)＋a(1＋λ)＋(－2)a(1－λ)＝0． 　　解得λ＝． 　　即当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC．

提示：

判定线面垂直，可以用判定定理．第(2)问为开放型问题，解决此类问题通常是先假设符合条件的点存在，然后利用已知条件推理求解．从而得出结论．