Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，在△ABC中，BC边上的点D满足BD=2DC，以BD为直径作圆O恰与CA相切于点A，过点B作BE⊥CA于点E，BE交圆D于点F．
（I）求∠ABC的度数：
（ II）求证：BD=4EF．

Answer 1

解：（Ⅰ）连接OA、AD．
∵AC是圆O的切线，OA=OB，
∴OA⊥AC，∠OAB=∠OBA=∠DAC，…（2分）
又AD是Rt△OAC斜边上的中线，
∴AD=OD=DC=OA，
∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD=60°，
故∠ABC=∠AOD=30°．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
在Rt△AEB中，∠EAB=∠ADB=60°，
∴EA=AB=×BD=BD，
EB=AB=×BD=BD，…（7分）
由切割线定理，得EA²=EF×EB，
∴BD²=EF×BD，
∴BD=4EF．…（10分）
分析：（Ⅰ）连接OA、AD．由AC是圆O的切线，OA=OB，知OA⊥AC，∠OAB=∠OBA=∠DAC，由AD是Rt△OAC斜边上的中线，知AD=OD=DC=OA，由△AOD是等边三角形，能求出∠ABC的度数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，在Rt△AEB中，∠EAB=∠ADB=60°，由EA=AB=×BD=BD，知EB=AB=×BD=BD，由切割线定理，得EA²=EF×EB，由此能够证明BD=4EF．
点评：本题考查弦切角、与圆有关的比例线段的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．