Question

已知数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=2a_n+1，
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）由（1）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

解：（1）分别令n取1，2，3
得到a₂=2×3+1=7，
a₃=2×7+1=15，
a₄=2×15+1=31．
（2）猜想a_n=2ⁿ⁺¹-1，
证明：①当n=1时，a₁=2²-1=3，故命题成立．
②假设当n=k时命题成立，即a_n=2ⁿ⁺¹-1，
则当n=k+1时，a_k+1=2a_k+1=2（2ⁿ⁺¹-1）+1=2^（n+1）+1-1，
故命题也成立．
综上，对一切n∈N₊都有a_n=2ⁿ⁺¹-1成立．
分析：（1）分别令n=1，2，3，代入数列的递推式能够依次求出a₂，a₃，a₄．
（2）猜想出数列的递推式，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
点评：考查根据数列的前几项确定数列的通项公式，实际上不同可以这样解a_n+1+1=2（a_n+1），得到a_n+1=4•2^n-1，a_n=4•2^n-1-1即a_n=2ⁿ⁺¹-1，本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立．证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点．