Question

19.已知函数f（x）＝，x［1，+）.

（1）当a=时，求函数f（x）的最小值；

（2）若对任意x［1，+），f（x）>0恒成立,试求实数a的取值范围.

Answer 1

19.解：

（1）当a=时，f（x）=x++2，

∵f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，　　　　　　　　　　

∴f（x）在区间[1，+∞）上的最小值为f（1）=.　　　　　　

 

（2）解法一：在区间 [1，+∞）上，

f（x）=>0恒成立x²+2x+a>0恒成立.　　　　

设y=x²+2x+a，x∈[1，+∞），

y=x²+2x+a=（x+1）²+a－1递增，∴当x=1时，y_min=3+a.　　

 

于是当且仅当y_min＝3+a>0时，函数f（x）>0恒成立，故a>－3.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

解法二：f（x）=x+，x∈[1，+∞），

当a≥0时，函数f（x）的值恒为正，　　　　　　　　　

当a<0时，函数f（x）递增，

 

故当x=1时，f（x）_min=3+a.　　　　　　　　　　　　　

 

于是当且仅当f（x）_min=3+a>0时，

 

函数f（x）>0恒成立，故a>－3.