Question

如图，在四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，求证：EF、GH、BD交于一点．

Answer 1

答案：
解析：

证明：∵E、G分别为BC、AB的中点， 　　∴GE∥AC． 　　又∵DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3， 　　∴FH∥AC，从而FH∥GE．故E、F、H、G四点共面． 　　∵AG∶GB＝1∶1，AH∶HD＝3∶2， 　　∴AG∶GB≠AH∶HD． 　　∴GH不平行于BD． 　　同理，EF也不平行于BD． 　　∴GH∥EF． 　　∴四边形EFHG是一个梯形，GH和EF交于一点O． 　　∵O在平面ABD内，又在平面BCD内， 　　∴O在这两平面的交线上．而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条． 　　∴点O在直线BD上． 　　∴EF、GH、BD交于一点． 　　思路分析：证明时可以首先证明GH和EF共面交于一点O，然后说明O是平面ABD和平面BCD的公共点，而平面ABD和平面BCD相交于直线BD，根据公理2，两平面相交，有且只有一条交线．因此点O在交线上，即点O在直线BD上．从而证明了直线EF、GH、BD都过点O．在该题中还涉及证明E、F、H、G四点共面的问题，又利用了公理2的推论．

提示：

证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点，然后说明这个点在两个平面上，并且这两个平面相交，于是得到交线也过此点，从而得到三线共点．