Question

已知函数y=x+有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．
（1）已知f（x）=，x∈[0，1]，利用上述性质，求函数f（x）的单调区间和值域．
（2）对于（1）中的函数f（x）和函数g（x），若对于任意的x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求实数a的值．

Answer 1

解：（1）f（x）==2x+1+-8，
设u=2x+1，x∈[0，1]，则1≤u≤3，则y=u+-8，u∈[1，3]，由已知性质得，
当1≤u≤2，即0≤x≤时，f（x）单调递减，所以递减区间为[0，]
当2≤u≤3，即≤x≤1时，f（x）单调递增，所以递增区间为[，1]
由f（0）=-3，f（）=-4，f（1）=-，得f（x）的值域为[-4，-3]
（2）由于g（x）=-x-2a为减函数，故g（x）∈[-1-2a，-2a]，x∈[0，1]，
由题意，f（x）的值域为g（x）的值域的子集，从而有
所以 a=
分析：（1）将2x+1看成整体，研究对勾函数的单调性从而求出函数的值域，以及利用复合函数的单调性的性质得到该函数的单调性；
（2）对于任意的x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）可转化成f（x）的值域为g（x）的值域的子集，建立关系式，解之即可．
点评：本题主要考查了利用单调性求函数的值域，以及函数恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于中档题．