Question

函数f（x）的定义域D={x|x≠0}，且满足对任意x₁，x₂∈D有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
（1）求f（1），f（-1）的值．
（2）判断f（x）的奇偶性并证明．
（3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x-6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵对任意x₁，x₂∈D有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
令x₁=x₂=1，则f（1•1）=f（1）+f（1）
解得f（1）=0
令x₁=x₂=-1，则f（-1•-1）=f（-1）+f（-1）
解得f（-1）=0
（2）f（x）为偶函数，证明如下：
令x₁=-1，x₂=x，
则f（-x）=f（-1）+f（x），
即f（-x）=f（x），
即f（x）为偶函数
（3）∵f（4）=1，
∴f（64）=3f（4）=3，
由f（3x+1）+f（2x-6）≤3得
f（3x+1）+f（2x-6）≤f（64）
∵f（x）为偶函数双，又因为f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴|（3x+1）•（2x-6）|≤64，且3x+1≠0，2x-6≠0，
解各≤x≤5且x≠，x≠3
∴x的取值范围为{x|≤x≤5且x≠，x≠3}
分析：（1）由f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），令x₁=x₂=1，可得f（1），令x₁=x₂=-1，可得f（-1）
（2）令x₁=-1，x₂=x，根据f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），可得f（-x）=f（x），进而根据偶函数的定义，得到结论
（3）由f（4）=1，结合f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），可得f（64）=3，进而可将不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3结合函数的单调性和奇偶性转化为|（3x+1）•（2x-6）|≤64，且3x+1≠0，2x-6≠0，进而求出x的取值范围
点评：本题考查的知识点是抽象函数的求值，抽象函数的奇偶性与抽象函数的单调性，难度中档．