Question

若函数f（x）=x（x-1）（x-a），（a＞1）的两个不同极值点x₁，x₂满足f（x₁）+f（x₂）≤0恒成立，则实数a的取值范围为

a≥2

．

Answer 1

分析：把x₁，x₂代入到f（x）中求出函数值代入不等式f（x₁）+f（x₂）≤0中，在利用根与系数的关系化简得到关于a的不等式，求出解集即可．

解答：解：因f（x₁）+f（x₂）≤0，故得不等式x₁³+x₂³-（1+a）（x₁²+x₂²）+a（x₁+x₂）≤0．
即（x₁+x₂）[（x₁+x₂）²-3x₁x₂]-（1+a）[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]+a（x₁+x₂）≤0．
由于f′（x）=3x²-2（1+a）x+a．
令f′（x）=0得方程3x²-2（1+a）x+a=0．
因△=4（a²-a+1）≥4a＞0，
故

x1+x2= 2 3 (1+a) x1x2= a 3

代入前面不等式，
两边除以（1+a），并化简得
2a²-5a+2≥0．
解不等式得a≥2或a≤

1

2

（舍去）
因此，当a≥2时，不等式f（x₁）+f（x₂）≤0成立．

点评：考查学生求导数及利用导数研究函数极值的能力，灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决数学问题的能力．