Question

已知函数f(x)=cos2x+

3

sinxcosx+1，x∈R．
（1）求证f（x）的小正周期和最值；
（2）求这个函数的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）根据二倍解公式，我们易将函数的解析式化为正弦型函数；
（2）根据正弦函数的单调性，构造不等式-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，解不等式即可求出函数的单调增区间．

解答：解；（1）f(x)=cos2x+

3

sinxcosx+1=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+

3

2

=sin（2x+

π

6

）+

3

2

函数的周期T=

2π

2

=π
∵-1≤sin（2x+

π

6

）≤1
∴

1

2

≤sin（2x+

π

6

）+

3

2

≤

5

2

即

1

2

≤f（x）≤

5

2

（2）当-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ⇒x∈[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]为函数的单调增区间．

点评：本题考查的知识点是二倍角公式以及正弦函数的单调性，其中熟练函数的解析式化为正弦型函数是解答本题的关键．