Question

在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．且a，b，c．成等比数列．
（1）求角B的最大值；
（2）若cosB=

2

3

，求tanA•tanC与tanA+tanC的值．

Answer 1

分析：（1）由a，b，c成等比数列，可得b²=ac，结合余弦定理及基本不等式，可得cosB≥

1

2

，又由0＜B＜π，可得角B的最大值；
（2）由同角三角函数关系，可得sinB=

5

3

，所以有sin²B=

5

9

=sinA•sinC，再由诱导公式，可得cos（A+C）=-

2

3

，从而求得cosA•cosC=-

1

9

，则利用同角三角函数基本关系式可求tanA+tanC与tanA•tanC的值．

解答：解：（1）∵a，b，c成等比数列，∴b²=ac．
又∵三角形ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，
由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，
得，cosB=

a2+c2-b2

2ac

∵a²+c²≥2ac，b²=ac，
∴cosB≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

又∵B为三角形内角，∴0＜B＜π，故0＜B≤

π

3

，
所以角B的最大值为

π

3

；
（2）由cosB=

2

3

，∴∠B为锐角，则sinB=

1-cos2B

=

1-( 2 3 )2

=

5

3

，
由b²=ac，得sinA•sinC=sin2B=(

5

3

)2=

5

9

，
又cosB=-cos（A+C）=-cosA•cosC+sinA•sinC
∴cosA•cosC=-cosB+sinA•sinC=-

2

3

+

5

9

=-

1

9

．
∴tanA•tanC=

sinA

cosA

sinC

cosC

=

sin2B

cosA•cosC

=

5 9

- 1 9

=-5；
tanA+tanC=

sinA

cosA

+

sinC

cosC

=

sinAcosC+cosAsinC

cosA•cosC

=

sin(A+C)

cosA•cosC

=

sinB

cosA•cosC

=

5 3

- 1 9

=-3

5

．

点评：本题考查了等比数列的性质，考查了利用余弦定理求角，训练了利用基本不等式求最值，训练了同角三角函数的基本关系式和诱导公式，是三角函数的综合应用，是中档题．