Question

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是A₁B的中点。

（1）求证：AE⊥A₁C；
（2）求证：B₁C₁∥平面AC；
（3）求三棱锥A-A₁BC的体积。

Answer 1

（1）证明：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
BC⊥平面ABB₁A₁，AE平面ABB₁A₁，
∴BC⊥AE，
正方形ABB₁A₁中，E是A₁B的中点，
∴AE⊥A₁B，
又A₁B∩BC=B，BC平面A₁BC，
∴AE⊥平面A₁BC，
∵A₁C平面A₁BC，
∴AE⊥A₁C。
（2）证明：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵B₁C₁∥BC，BC平面AC，B₁C₁平面AC，
∴B₁C₁∥平面AC。
（3）解：。