Question

（2012•安徽模拟）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

3

2

，且过点(

3

，

1

2

)．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）垂直于坐标轴的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆D经过坐标原点．证明：圆D的半径为定值．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

3

2

，可得a²=4b²，利用椭圆过点(

3

，

1

2

)，即可求得椭圆C的标准方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），分类讨论：①当直线AB斜率不存在时，由椭圆的对称性可知x₁=x₂，y₁=-y₂，从而可求原点O到直线的距离；②当直线AB斜率为0时，由椭圆的对称性可知x₁=-x₂，y₁=y₂，可求原点O到直线的距离，由此可知圆D的半径为定值

2 5

5

．

解答：（1）解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

3

2

∴

a2-b2

a2

=

3

4

，∴a²=4b²
∴椭圆C的方程为

x2

4b2

+

y2

b2

=1
∵椭圆过点(

3

，

1

2

)
∴

3

4b2

+

1

b2

=1
∴b²=1，a²=4
∴椭圆C的标准方程为

x2

4

+y2=1
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
①当直线AB斜率不存在时，由椭圆的对称性可知x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵以AB为直径的圆D经过坐标原点，∴

OA

•

OB

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴x12-y12=0
∵x12+4y12=4，∴|x1|=|y1|=

2 5

5

∴原点O到直线的距离为d=|x1|=

2 5

5

②当直线AB斜率为0时，由椭圆的对称性可知x₁=-x₂，y₁=y₂，
∵以AB为直径的圆D经过坐标原点，∴

OA

•

OB

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴y12-x12=0
∵x12+4y12=4，∴|x1|=|y1|=

2 5

5

∴原点O到直线的距离为d=|y1|=

2 5

5

综上知，圆D的半径为定值

2 5

5

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查圆与椭圆的综合，正确运用椭圆的性质是解题的关键．