Question

已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（a+x）=f（a-x）（a≠0）
（1）求证：y=f（x）的图象关于直线x=a对称．
（2）又若函数y=f（x）的图象在于直线x=b（b≠a）对称，证明函数y=f（x）是周期函数．

Answer 1

（1）证明：设P（x，f（x））是y=f（x）上任一点，其关于x=a的对称点P’应为（2a-x，f（x））．
∵f（a+x）=f（a-x），∴f（2a-x）=f[a+（a-x）]=f[a-（a-x）]=f（x），
故P’坐标为（2a-x，f（2a-x））显然在y=f（x）图象上．
由点P的任意性知道y=f（x）关于x=a对称
证毕！
（2）∵函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称∴f（x）=f（2a-x）
∵函数y=f（x）的图象关于直线x=b对称∴f（x）=f（2b-x）
∴f（2a-x）=f（2b-x）
设y=2b-x，那么f（y）=f[y+2（a-b）]
由于y是任意的所以f（x）是以2（a-b）为周期的周期函数．
分析：（1）设y=f（x）上任一点P（x，f（x））得到关于x=a的对称点P’（2a-x，f（x）），根据f（a+x）=f（a-x）验证f（2a-x）=f（x）即可．
（2）根据函数f（x）的图象关于直线x=a、x=b（b≠a）对称，得到f（2a-x）=f（2b-x），然后设y=2b-x，那么f（y）=f[y+2（a-b）]可得答案．
点评：本题主要考查函数的性质--对称性的应用．函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性，研究函数一般就从这几个方面入手．