Question

已知函数
（Ⅰ）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）若x₁＜x₂，判断 f （x₁）和f （x₂）的大小，并给出证明．

Answer 1

（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域是（-∞，+∞），
∵
∴函数f（x）是奇函数

（Ⅱ）先探究函数f（x）的单调性；
（i）当0≤x₁＜x₂时
=
∵0≤x₁＜x₂∴1+x₁＞0，1+x₂＞0，x₁-x₂＜0
∴f （x₁）＜f （x₂），
∴当x∈[0，+∞）时，函数f（x）是增函数．
（ii）当x∈（-∞，0）时，由（Ⅰ）知，函数f（x）是奇函数，
∴当x∈（-∞，0）时，函数f（x）是增函数 ，则（i）当0≤x₁＜x₂，
f（x₁）＜f（x₂），（ii）当x₁＜x₂＜0，f （x₁）＜f （x₂），
（iii）当x₁＜0≤x₂，总有 f（x₁）＜f（x₂），
综上所述当x₁＜x₂时，总有 f（x₁）＜f（x₂）．
分析：（Ⅰ）先看函数的定义域是否关于原点对称，再看f（-x）与f（x）的关系，依据奇偶性的定义进行判断．
（Ⅱ）先证明f（x）在∈[0，+∞）上是增函数，再依据函数是个奇函数证明在∈（-∞，0）上也是增函数，
从而总有 f（x₁）＜f（x₂）．
点评：本题考查函数的定义域、单调性、奇偶性，基本性质应用等基础知识，同时考查逻辑推理能力．