Question

已知在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是D₁D、BD的中点，G在棱CD上，且CG=CD.

（1）求证：EF⊥B₁C；

（2）求二面角FEGC₁的大小（用反三角函数表示）.

Answer 1

解法一：（1）证明：连结D₁B、BC₁，∵E、F是D₁D、BD的中点，

∴EF∥D₁B，且EF=D₁B.又∵D₁C₁⊥平面BC₁，

∴D₁B在平面BC₁上的射影为BC₁.

∵BC₁⊥B₁C，由三垂线定理知B₁C⊥D₁B.

∴EF⊥B₁C.

（2）取DC的中点M，连结FM，则FM⊥DC.过M作MN⊥EG于N点，连结FN.

由三垂线定理可证FN⊥EG.

∴∠MNF的邻补角为二面角FEGC₁的平面角.设正方体的棱长为4，则FM=2，

在Rt△EDG中，△EDG∽△MNG，

∴MN=.

在Rt△FMN中，∠MNF=90°，

∴tan∠MNF==.

∴∠MNF=arctan.

∴二面角F-EG-C₁的大小为π-arctan.

解法二：建立如图直角坐标系，令AB=4，则D（0，0，0），A（4，0，0），B（4，4，0），C（0，4，0），D₁（0，0，4），C₁（0，4，4），E（0，0，2），F（2，2，0），G（0，3，0），B₁（4，4，4）.

（1）=(2,2,-2)，=(-4,0,-4).

∵·=0,∴EF⊥B₁C.

（2）设平面FEG的法向量为n₁=(x₁,y₁,z₁)，平面C₁EG的法向量n₂=(1,0,0),

=(2,2,-2)，=(0,3,-2)，·n₁=2x₁+2y₁-2z₁=0,

EG·n₁=3y₁-2z₁=0，∴n₁=(1,2,3), cosθ=.

故二面角FEGC₁的大小为π-arccos.