Question

（10）如果函数f（x）=a^x（a^x-3a²-1）（a＞0且a≠1）在区间［0，+∞）上是增函数，那么实数a的取值范围是

（A）（0，]   （B）［，1)   （C）（1，]    （Ｄ）［，+∞)

Answer 1

B

解析：<法一>

令t=a^x    ∵x∈［0,+∞)

n(t)=t²-(3a²+1)t

(i)当0＜a＜1时

t=a^x在［0，+∞)上为减函数，且t∈(0，1)

而f(x)在［0,+∞)为增函数

∴h(t)在(0,1)］上应为减函数.

又∵h(t)的对称轴为.

∴≥1a≥

∴≤a≤1

(ii)当a＞1时

t=a^x在［0，+∞)上为增函数.且t∈［1，+∞).

而f(x)在［0,+∞)上也为增函数.

∴h(t)在［1,+∞)应为增函数

又∵h(t)的对称轴为.

∴≤10＜a≤，

这与a＞1矛盾.舍去.

∴a的取值范围［,1)

<方法二>

∵0，1∈［０，＋∞)，且f(x)在［0，+∞）为增函数

∴必有f(0)＜f(1)

即    a(3a²-4a+1)＜0

∵a＞0   ∴3a²-4a+1＜0

∴＜a＜1

根据这个大致范围可排除A、C、D.