Question

设数列a_n的前n项和为S_n，对n∈N^*，都有a_n=5S_n+2成立，
（Ⅰ） 求数列a_n的通项公式；
（Ⅱ）设数列b_n=log₂|a_n|，试求数列b_n的前n项和M_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把n=1代入a_n=5S_n+2，即可求出首项的值，当n大于等于1时，利用a_n=S_n-S_n-1，即可确定出此数列为等比数列，且得到等比数列的公比的值，根据求出的首项和公比写出通项公式即可；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的通项公式代入b_n=log₂|a_n|中，利用对数的运算法则化简后，即可确定出数列{b_n}为等差数列，分别求出等差数列的首项和公差，根据等差数列的前n项和公式求出数列{b_n}的前n项和M_n即可．

解答：解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=5S₁+2=5a₁+2，
∴a1=-

1

2

，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

5

(an-2)-

1

5

(an-1-2)，
∴an=-

1

4

an-1，即

an

an-1

=-

1

4

，
∴数列{a_n}成等比数列，其首项a1=-

1

2

，公比为-

1

4

，
∴数列a_n的通项公式an=-

1

2

•(-

1

4

)n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=（-1）ⁿ•2^1-2n，
∴b_n=log₂|a_n|=1-2n，
∵b_n+1-b_n=-2，
∴{a_n}为等差数列，且首相为b₁=-1，公差为-2，
∴Mn=

n(-1+1-2n)

2

=-n2．

点评：此题考查学生掌握等比数列及等差数列的确定方法，灵活运用等比数列的通项公式及等差数列的前n项和的公式化简求值，是一道中档题．