Question

设等比数列{a_n}的公比为q,前n项和S_n＞0(n=1,2,…),求q的取值范围.

Answer 1

思路点拨:本题主要依据等比数列的前n项和公式将和表示出来,从而问题转化为解不等式.

解:由于数列{a_n}是等比数列,且S_n＞0,

所以a₁=S₁＞0,q≠0,

当q=1时,S_n=na₁＞0；当q≠1时,S_n=＞0,即＞0(n=1,2,3,…),上式等价于不等式组(n=1,2,3,…)①或(n=1,2,3,…)②,解①得q＞1；

解②,由于n可为偶数,得-1＜q＜1.

综上所述,q的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).

[一通百通]对于等比数列的前n项和公式,在使用时要注意其公比是否为1,如果不能确定,就要针对公比是否为1而分类讨论,否则问题可能因此而漏解.