Question

已知直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA₁＝，M为CC₁中点，求证：AB₁⊥A₁M．

Answer 1

答案：
解析：

解析：因结论是线线垂直，可考虑用三垂线定理或逆定理 　　∵∠ACB＝90° 　　∴∠A1C1B1＝90° 　　即B1C1⊥C1A1 　　又由CC1⊥平面A1B1C1得：CC1⊥B1C1 　　∴B1C1⊥平面AA1C1C 　　∴AC1为AB1在平面AA1C1C的射影 　　由三垂线定理，下证AC1⊥A1M即可 　　在矩形AA1C1C中，AC＝A1C1＝，AA1＝CC1＝ 　　∵， 　　∴ 　　∴Rt△A1C1M∽Rt△AA1C1 　　∴∠1＝∠2 　　又∠2＋∠3＝90° 　　∴∠1＋∠3＝90° 　　∴AC1⊥A1M 　　∴AB1⊥A1M 　　评注：利用三垂线定理的关键是找到基本面后找平面的垂线