Question

如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（t＞0）左侧的图形的面积为f（t）．
（1）求函数f（t）解析式；
（2）画出函数y=f（t）的图象；
（3）当函数g（t）=f（t）-at有且只有一个零点时，求a的值．

Answer 1

解：（1）当0＜t≤1时，²
当1＜t≤2时，
当t＞2时，
所以
（2）画图象，如图：（其中图形，规范1分）
（3）当0＜t≤1时，，由，解得
因为0＜t≤1，所以，即
当时，直线y=at过点，这两点都在f（t）的图象上
当时，直线y=at与射线有一个交点
当1＜t≤2时，直线y=a（）逆时针旋转时与f（t）图象有两个交点，相切时有一个交点，且与射线无交点．
此时，所以 ，
所以，解得或．
当时，，所以在（1，2]内．
当．时不在（1，2]内，
当a≤0或a时，直线y=at与f（t）的图象无交点
所以．
分析：（1）利用分段函数，求函数f（t）的解析式．
（2）利用（1）的解析式作出函数的图象．（3）求出g（t）=f（t）-at的表达式，利用g（t）=f（t）-at有且只有一个零点时，求a的值．
点评：本题主要考查了分段函数的求法以及函数零点的应用，综合性较强，运算量较大．