Question

如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AA₁＝AC＝BC＝2，D、E、F分别是AB、AA₁、CC₁的中点，P是CD上的点．

(Ⅰ)求证：直线PE∥平面A₁BF；

(Ⅱ)求二面角D―EC―A的大小；

(Ⅲ)求直线PE与平面A₁BF的距离．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)证明：连又， 　　∴ 　　(Ⅱ)(法则一)取AC中点M，连DM，则DM∥BC，又BC⊥AC，∴DM⊥AC， 　　∵平面A1ACC1⊥底面ABC，且平面A1ACC1∩底面ABC＝AC，∴DM⊥平面EAC． 　　作MN⊥EC，连DN，据三垂线定理，得CE⊥DN，∴∠DNM为所求二面角的平面角． 　　在Rt△EDC中，． 　　在Rt△DMN中，， 　　∴，即所求二面角的平面角 　　的大小为． 　　(法则二)以C为坐标原点，CA、CB、CC1分别为x、y、z轴建立如图所示的坐标系，则C(0，0，0)，D(1，1，0)，E(2，0，1)，＝(1，1，0)，， 　　设平面EDC的法向量为， 　　则由， 　　令x＝1，则y＝－1，z＝－2，故法向量 　　，又平面ECA的一个法向量为 　　，∴， 　　∴二面角D―EC―A的大小为． 　　(Ⅲ)(法一)由(1)可知，直线PE与平面A1BF的距离等于两平行平面EDC与A1BF的距离，即点A1到平面EDC的距离，亦即A到平面EDC的距离，设A到平面EDC的距离为h，又CD⊥AB，而A1ABB1⊥平面ABC，且A1ABB1∩平面ABC＝AB，∴CD⊥平面A1ABB1，∴CD⊥ED，即△CED为直角三角形． 　　由，