Question

如图,已知P是△ABC所在平面外一点,PA、PB、PC两两垂直,H是△ABC的垂心,求证:PH⊥平面ABC.

Answer 1

解析：根据判定定理，要证线面垂直，需证直线和平面内的两条相交直线垂直，根据H是△ABC的垂心，可知BC⊥AH，又PA、PB、PC两两垂直，得PA⊥面PBC，于是PA⊥BC，由此可知BC垂直于平面PAH内的相交直线PA和AH，结论得证.

证明:∵H是△ABC的垂心,∴AH⊥BC.                    ①

∵PA⊥PB,PB⊥PC,∴PA⊥平面PBC.

    又∵BC平面PBC,∴PA⊥BC,                       ②

    由①②知,BC⊥PH,

    同理,AB⊥PH,∴PH⊥平面ABC.

点评:根据所求证的结论，寻求所需的已知条件，看题目是否已经直接给出，或者从题目所给条件，经过推理能够得出，这是分析问题的重要方法，称为执果索因；也可从条件出发，将这一条件可能得出的结论一一列出，从中选出我们证题所需要的结论，这样分析问题的方法称为由因导果，发散性较强.