Question

6．已知实数x，y满足条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤0}\\{x+y-5≥0}\\{y-3≤0}\end{array}\right.$，若不等式m（x²+y²）≤（x+y）²恒成立，则实数m的最大值是$\frac{25}{13}$．

Answer 1

分析 利用分式不等式的性质将不等式进行分类，结合线性规划以及恒成立问题．利用数形结合进行求解即可．

解答 解：由题意知：可行域如图，
又∵m（x²+y²）≤（x+y）²在可行域内恒成立．
且m≤$\frac{（x+y）^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=1+$\frac{2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=1+$\frac{2•\frac{y}{x}}{1+（\frac{y}{x}）^{2}}$=1+$\frac{2}{\frac{1}{\frac{y}{x}}+\frac{y}{x}}$，
故只求z=$\frac{1}{\frac{y}{x}}+\frac{y}{x}$的最大值即可．
设k=$\frac{y}{x}$，则有图象知A（2，3），
则OA的斜率k=$\frac{3}{2}$，BC的斜率k=1，
由图象可知即1≤k≤$\frac{3}{2}$，
∵z=k+$\frac{1}{k}$在1≤k≤$\frac{3}{2}$，
上为增函数，
∴当k=$\frac{3}{2}$时，z取得最大值z=$\frac{3}{2}$+$\frac{2}{3}$=$\frac{13}{6}$，
此时1+$\frac{2}{z}$=1+$\frac{2}{\frac{13}{6}}$=1+$\frac{12}{13}$=$\frac{25}{13}$，
故m≤$\frac{25}{13}$，
故m的最大值为$\frac{25}{13}$，
故答案为：$\frac{25}{13}$

点评 本题主要考查线性规划、基本不等式、还有函数知识考查的综合类题目．在解答过程当中，同学们应该仔细体会数形结合的思想、函数思想、转化思想还有恒成立思想在题目中的体现．