Question

已知三棱锥A—BCD中,AB=3,其余各棱长均为2,E、F分别是AB、CD的中点,问:在线段EF上是否存在一点O,使O到A、B、C、D四点的距离相等?

Answer 1

剖析:易证EF为AB、CD的公垂线段,问题则转化为在线段EF上是否存在一点O,使OA=OC.

解:如图,连结EC、ED,

    ∵AD=DB=AC=BC=2,AB是公共边,

    ∴△ABD≌△ABC.

    ∴DE=CE.而F为CD的中点,

    ∴EF⊥CD.

    同理,EF⊥AB,

    即EF为AB、CD的公垂线.

    假设在EF上存在点O,使OA=OC,令OE=x,由OA=OC,得到关于x的方程,下面只需考虑这个方程是否有解即可.

    在Rt△AEF中,EF==,OF=-x,

    OA²=AE²+EO²=+x²,OC²=OF²+FC²=(-x)²+1.

    于是有+x²=(-x)²+1,

    ∴x=.

    故在线段EF上存在一点O,使得O到A、B、C、D四点的距离相等.