Question

20、函数y=x³-3x²+bx+c的图象如图所示，且与直线y=0在原点相切．
（1）求b、c的值；
（2）求函数的极小值；
（3）求函数的递减区间．

Answer 1

分析：（1）根据函数的图象经过（0，0）点得到c=0，又图象与x轴相切于（0，0）点，令导函数在x=0处的值为0得到b的值．
（2）求出导函数，令导函数为0得到根，判断根左右两边的符号，求出函数的极小值．
（3）求出导函数，令导函数小于0得到x的范围，写出区间即为函数的递减区间．

解答：解：（1）函数的图象经过（0，0）点，
∴c=0．
又图象与x轴相切于（0，0）点，
y'=3x²-6x+b，
∴0=3×0²-6×0+b，
解得b=0．
（2）y=x³-3x²，
y'=3x²-6x，
当x＜2时，y'＜0；当x＞2时，y'＞0．
则当x=2时，函数有极小值-4．
（3）y'=3x²-6x＜0，
解得0＜x＜2，
∴递减区间是（0，2）．

点评：解决函数的单调性、极值、最值问题，常利用的工具是函数的导函数．但要注意导函数在极值点处的值为0是此点为极值点的必要条件而不是充要条件．