Question

已知函数f(x)=a^x-2-1(a＞0,a≠1).

(1)求函数f(x)的定义域、值域；

(2)是否存在实数a，使得函数f(x)满足：对于区间(2,+∞)上使函数f(x)有意义的一切x，都有f(x)≥0.

Answer 1

解析：(1)由4-a^x≥0,得a^x≤4.

当a＞1时，x≤log_a4;

当0＜a＜1时，x≥log_a4.

即当a＞1时，f(x)的定义域为（-∞,log_a4］;

当0＜a＜1时，f(x)的定义域为［log_a4,+∞）.

令t=,则0≤t＜2,且a^x=?4-t²,?∴f(x)=4-t²-2t-1=-(t+1)²+4,

当t≥0时，f(x)是t的单调减函数,

∴f(2)＜f(x)≤f(0),即-5＜?f(x)≤3.∴函数f(x)的值域是（-5，3］.

(2)若存在实数a使得对于区间（2，+∞）上使函数f(x)有意义的一切x,都有?f(x)≥0,则区间（2,+∞）是定义域的子集.由(1)知，a＞1不满足条件；若0＜a＜1,则log_a4＜2,且f(x)是x的减函数.

当x＞2时，a^x＜a².由于0＜a²＜1,

∴t=.

∴f(x)＜0,即f(x)≥0不成立.

综上，满足条件的a的取值范围是.