Question

20．已知$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}_{n}-2}{4n+1}$=$\frac{1}{3}$，则无穷数列{$\frac{1}{{a}^{n}}$}的各项和等于3．

Answer 1

分析 由已知条件求出$a=\frac{4}{3}$，由此能求出无穷数列{$\frac{1}{{a}^{n}}$}的各项和．

解答 解：∵$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}_{n}-2}{4n+1}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{a}{4}=\frac{1}{3}$，解得a=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{1}{{a}^{n}}$=$\frac{1}{（\frac{4}{3}）^{n}}$=$（\frac{3}{4}）^{n}$，
∴无穷数列{$\frac{1}{{a}^{n}}$}的各项和S=$\frac{\frac{3}{4}}{1-\frac{3}{4}}$=3．
故答案为：3．

点评 本题考查无穷数列的各项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限思想和无穷递缩等比数列各项和公式的合理运用．