Question

6．已知c＞0，设p：函数y=lg[（1-c）x-1]在其定义域内为增函数，q：不等式x+|x-2c|＞1的解集为R，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数c的范围．

Answer 1

分析 若“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p真q假或p假q真，进而可得答案．

解答 解：若命题p为真；
即函数y=lg[（1-c）x-1]在其定义域内为增函数，
则$\left\{\begin{array}{l}1-c＞0\\ c＞0\end{array}\right.$
解得：0＜c＜1．
设$f（x）=x+|x-2c|=\left\{\begin{array}{l}2x-2c，x≥2c\\ 2c，x＜2c\end{array}\right.$
∴f（x）的最小值为2c．
若命题q为真，则2c＞1，
∴$c＞\frac{1}{2}$，
∵“p或q”为真，且“p且q为假”，
∴p真q假或p假q真，
若p真q假，则c的范围是$（0，\frac{1}{2}）$；
若p假q真，则c的范围是[1，+∞），
综上可得：c的范围是$（0，\frac{1}{2}）$∪[1，+∞）．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，复合函数的单调性，函数恒成立问题，难度中档．