Question

将椭圆

x2

4

+

y2

16

=1上的点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，则所得曲线的方程为

x2

16

+

y2

16

=1

．

Answer 1

分析：设椭圆

x2

4

+

y2

16

=1上任意一点P（x₀，y₀），纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍后的曲线上与P对应的点P′（x，y），依题意，可得点P与P′坐标之间的关系，通过代入法即可求得变化后所得曲线的方程．

解答：解：设椭圆

x2

4

+

y2

16

=1上任意一点P（x₀，y₀），
纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍后的曲线上与P对应的点P′（x，y），
则

x=2x0 y=y0

，
∴x₀=

1

2

x，y₀=y，
∵P（x₀，y₀）为椭圆

x2

4

+

y2

16

=1上任意一点
将P（

1

2

x，y）代入椭圆

x2

4

+

y2

16

=1得：

x2

16

+

y2

16

=1．
故答案为：

x2

16

+

y2

16

=1．

点评：本题考查椭圆的简单性质，考查代入法的应用，得到点P与P′坐标之间的关系，是解决问题的关键，考查分析与转化的能力，属于中档题．