Question

已知b＞，c＞0，函数的图像与函数的图像相切．

（Ⅰ）设，求；

（Ⅱ）设(其中x＞)在上是增函数，求c的最小值；

（Ⅲ）是否存在常数c，使得函数在内有极值点？若存在，求出c的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）【方法一】由， 依题设可知，． ∵b＞，c＞0， ∴，即． 【方法二】依题设可知，即， ∴为切点横坐标， 于是，化简得． 同法一得． （Ⅱ）依题设， ∴． ∵在上是增函数， ∴≥0在上恒成立， 又x＞，c＞0，∴上式等价于≥0在上恒成立， 即≤，而由（Ⅰ）可知≤， ∴≥． 又函数在上的最大值为2， ∴≥2，解得c≥4，即c的最小值为4． （Ⅲ）由， 可得． 令，依题设欲使函数在内有极值点， 则须满足＞0， 亦即＞0，解得＜或＞， 又c＞0，∴0＜c＜或c＞． 故存在常数，使得函数在内有极值点．（注：若△≥0，则应扣1分．）