Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F₁和F₂，过F₂的直线L与椭圆C相交 A，B于两点，且直线L的倾斜角为60°，点F₁到直线L的距离为2

3

，
（1）求椭圆C的焦距．
（2）如果

AF 2

=2

F2B

，求椭圆C的方程．

Answer 1

分析：（1）过F₁作F₁⊥l可直接根据直角三角形的边角关系得到

3

c=2

3

，求得c的值，进而可得到焦距的值．
（2）假设点A，B的坐标，再由点斜式得到直线l的方程，然后联立直线与椭圆方程消去x得到关于y的一元二次方程，求出两根，再由

AF 2

=2

F2B

，可得y₁与y₂的关系，再结合所求得到y₁与y₂的值可得到a，b的值，进而可求得椭圆方程．

解答：解：（1）设焦距为2c，由已知可得F₁到直线l的距离

3

c=2

3

，故c=2．
所以椭圆C的焦距为4．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意知y₁＜0，y₂＞0，直线l的方程为y=

3

（x-2）．
联立

y=  3 (x-2) x2 a2 + y2 b2 =1

得（3a²+b²）y²+4

3

b²y-3b⁴=0．
解得y₁=

- 3 b2(2+2a)

3a2+b2

，y₂=

- 3 b2(2-2a)

3a2+b2

．
因为

AF 2

=2

F2B

，所以-y₁=2y₂．
即

3 b2(2+2a)

3a2+b2

=2•

- 3 b2(2-2a)

3a2+b2

．
得a=3．而a²-b²=4，所以b=

5

．
故椭圆C的方程为

x2

9

+

y2

5

=1．

点评：本题主要考查椭圆的基本性质．考查考生对椭圆基本性质的理解和认知，椭圆的基本性质是高考的重点内容，每年必考，一定要熟练掌握并能灵活运用．