Question

已知AB⊥平面BED，AB∥CD，BE⊥ED，AB=BE=ED=4，CD=2，F是ED中点，G是CF中点．
（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面CDF；
（Ⅱ）求AG与平面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵AB⊥平面BED，BE?平面BED，∴AB⊥BE
∵AB∥CD，∴BE⊥CD
∵BE⊥ED，∴DF⊥BE
∵CD∩DF=D，∴BE⊥平面CDF
∵BE?平面ABE，∴平面ABE⊥平面CDF；
（Ⅱ）解：建立如图所示的坐标系，

则A（4，0，4），B（4，0，0），C（0，8，2），G（0，6，1），则
，=（-4，6，-3）
设平面ABC的法向量为，则，∴可求
∴AG与平面ABC所成角的正弦值为||==
∴AG与平面ABC所成角的余弦值为．
分析：（Ⅰ）先证明BE⊥平面CDF，利用面面垂直的判定定理，可得平面ABE⊥平面CDF；
（Ⅱ）建立坐标系，确定=（-4，6，-3），平面ABC的法向量为，利用向量夹角公式，可得结论．
点评：本题考查面面垂直，考查线面角，考查利用向量法解决空间角问题，属于中档题．