Question

(本小题满分12分)

正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，已知A₁A = AB，D为C₁C的中点，O为A₁B与AB₁的交点．

求二面角A—A₁B—D的大小．

若点E为AO的中点，求证：EC∥平面A₁BD；

Answer 1

(1) 解：（法一）取AB中点F，连结OD、CF

∵ O为A₁B中点

∴ OF∥AA₁

∴ OFCD

∴ 四边形OFCD为平行四边形

∴ OD∥FC

∵ △ABC为等边三角形，F为AB中点

∴ CF⊥AB

而AA₁⊥平面ABC

∴ AA₁⊥CF     

∴ CF⊥平面ABA₁    

∴ OD⊥平面ABA₁

∵ OD平面A₁BD    

∴ 平面A₁BD⊥平面A₁AB

∴ 二面角A—A₁B—D的大小为90       6分

（法二）连结OD、AD

∵ DA₁ = DB，O为A₁B中点，

∴ DO⊥A₁B

∵ A₁A = AB，  

∴ AO⊥A₁B

∴ ∠AOD为二面角A—A₁B—D的平面角

设AA₁ = 2，则

而

∴      

∴

∴二面角A—A₁B—D的大小为90

(2) 证明：（法一）延长A₁D、AC交于G，连结OG

∵ CDAA₁      ∴ C为AG中点

∵ E为AO中点   ∴ EC∥OG

∵ OG平面A₁BD

∴ EC∥平面A₁BD      12分

（法二）取A₁O中点H

∵ E为OA中点

∴ EHAA₁                  ∴ EHCD

∴ EHDC为平行四边形    ∴ EC∥FD

∵ FD平面A₁BD       

∴ EC∥平面A₁BD