Question

在△ABC中，tanA，tanB，tanC成等差数列，且f（tanC）=cos2A，求f（x）的表达式．

Answer 1

分析：由于在△ABC中，所以A+B+C=π，又由于tanA，tanB，tanC成等差数列，所以2tanB=tanA+tanC，由此得到A与C的关系等式，再有f（tanC）=cos2A利用换元法即可求f（x）的表达式．

解答：解：∵在△ABC中，所以A+B+C=π，又由于tanA，tanB，tanC成等差数列，所以2tanB=tanA+tanC，
∴2tan[π-（A+C）]=tanA+tanC⇒

-2(tanA+tanC)

1-tanAtanC

=tanA+tanC⇒tanAtanC=3⇒tanA=

3

tanC

①
有因为f（tanC）=cos2A?f（tanC）=

1-tan2A

1+tan2A

②，
把①代入②得：f（tanC）=

tan2C-9

tan2C+9

，令t=tanC，则f（t）=

t2-9

t2+9

，
所以f（x）的解析式为：f（x）=

x2-9

x2+9

．

点评：此题考查了三角形的内角和为π，两角和的正切展开式，万能公式，换元法求函数解析式．