Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b²+c²-a²=bc
（1）求角A的大小；
（2）设f（x）=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos 2

x

2

，求f（B）的范围．

Answer 1

分析：（1）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，结合题意求得cosA的值，根据角A为△ABC内角，即可求得A的大小；
（2）利用二倍角的三角函数公式和辅助角公式，化简得f（x）=sin（x+

π

6

）+

1

2

，结合B∈（0，

2π

3

）利用三角函数的图象，可求出f（B）的范围是（1，

3

2

]．

解答：解：（1）∵在△ABC中，b²+c²-a²=bc
∴a²=b²+c²-bc，
结合a²=b²+c²-2bccosA，可得cosA=

1

2

，
∵∠A为△ABC内角，∴A=

π

3

；
（2）f（x）=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos 2

x

2

=

3

2

sinx+

1

2

（1+cosx）=sin（x+

π

6

）+

1

2

，
∵A=

π

3

，可得B∈（0，

2π

3

）
∴B+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），可得sin（B+

π

6

）∈（

1

2

，1]
∴f（B）=sin（B+

π

6

）+

1

2

的范围是（1，

3

2

]．

点评：本题以三角形内角B的范围为定义域，求三角函数式的值域．着重考查了解三角形、三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．