Question

已知函数，对于n∈N^*，定义f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，则f₂₀₁₁（x）=________．

Answer 1

分析：函数对于n∈N^*，定义f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，故f₂（x）=f₁[f₁（x）]=f₁（）=．f₃（x）=f₁（）=，f₄（x）=f₁（）=，f₅（x）=f₁（）=，f₆（x）=f₁（）=x，f₇（x）=f₁（x）=．所以从f₁（x）到f₆（x），每6个一循环．由此能求出结果．
解答：∵函数对于n∈N^*，定义f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，
∴f₂（x）=f₁[f₁（x）]=f₁（）==．
f₃（x）=f₁[f₂（x）]=f₁（）==，
f₄（x）=f₁[f₃（x）]=f₁（）==，
f₅（x）=f₁[f₄（x）]=f₁（）==，
f₆（x）=f₁[f₅（x）]=f₁（）==x，
f₇（x）=f₁[f₆（x）]=f₁（x）==f₁（x）．
所以从f₁（x）到f₆（x），每6个一循环．
∵2011=335×6+1，
∴f₂₀₁₁（x）=，
故答案为：．
点评：本题考查函数的周期性，是基础题．解题时要认真审题，解题的关键是得到从f₁（x）到f₆（x），每6个一循环．