Question

函数f(x)=

lim

n→∞

xn

1+xn

，则f（x）的不连续点个数有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：对于x进行分类讨论：当-1＜x＜1时，可以知道n→∞时，xⁿ→0，当x=1时，f（x）=1，当x=-1时，f（x）不存在，当x＜-1或x＞1时，分别求出函数f(x)=

lim

n→∞

xn

1+xn

的值，最后得出f（x）的不连续点的个数．

解答：解：当-1＜x＜1时，可以知道n→∞时，xⁿ→0，
f(x)=

lim

n→∞

xn

1+xn

=0，
当x=1时，f（x）=1，
当x=-1时，f（x）不存在，
当x＜-1或x＞1时，分子分母同时除以xⁿ
f(x)=

lim

n→∞

xn

1+xn

=

lim

n→∞

1

1 xn +1

=1，
所以x=-1是这个函数的跳跃间断点，x=1也是跳跃间断点
∴函数f(x)=

lim

n→∞

xn

1+xn

，则f（x）的不连续点个数有两个，
故选B．

点评：考查对不连续点含义的理解、函数的连续性、极限及其运算，函数定义域的另外一种表述．属于基础题．